Дмитрий

На сервере проверяешь по какой ссылке был переход, и на ее основе выставляешь нужному инпуту атрибут `checked`

'default/<id:\d+>/brand-<brand:\d+>' => 'default/index',
'default/<id:\d+>' => 'default/index',
'default' => 'default/index',

echo Html::a('test', ['default/index', 'id' => $id, 'brand' =>  $brand])
echo Html::a('test', ['default/index', 'id' => $id])
echo Html::a('test', ['default/index'])

http://site.loc/default/index/3/brand-2
http://site.loc/default/index/3
http://site.loc/default/

Model::find()
->andWhere(['id'=>[1,2,3]]) // массив автоматически превращается в запрос in ()
->limit(3) // limit записей. 
->all();

Сначала настройте связи https://github.com/yiisoft/yii2/blob/master/docs/g... (hasOne, hasMany).

Дальше ваш запрос будет выглядеть так:

RelatedAssignment::find()->andWhere(['products_related.product_id' => 1])
->with(['products']) // опционально, читайте про жадную загрузку        
->all();

<?php if (\Yii::$app->request->baseUrl == '/'): ?>
    <div class="header"></div>
<?php else: ?>
    <div class="header header2"></div>
<?php endif ?>