Ну, а шаги то по State? Если да, то это await state.update_data(name='Вячеслав'). На втором шаге записываешь уже фамилию, или что там тебе угодно.

В конце извлекаешь содержимое:

n = await state.get_data()
name = n['name']

Ну событие (сообщение) попадает в обработчик только когда удовлетворяет условию state. По умолчанию оно отсутствует (а не любое). При запуске у пользователя тоже не установлено значение. Потом когда пользователь делает какой-то шурум-бурум устанавливается state, как ты говоришь waiting_for_phone. А фильтр на конечный автомат (state у твоего обработчика), как я уже сказал отстуствует.

Тут надо уже указывать конкретный state ( waiting_for_phone например) или проще всего сбросить
@dp.message_handler(commands=['start'], state='*')

Но тут попадет любое состояние которое удовлетворяет условию: command start

Определись с библиотекой, в основном их 2:
PyTelegramBotAPi
AioGram

Попробуй с начала с PyTelegramBotAPI.
импортируй telebot в python.

Ознакомься с оф. документацией Telegram

В Inline клавиатуре нужно callback_data сделать не 0, а "0"; не 1, а "1".

Можно Inline кнопкой в качестве url передать username пользователя с которым требуется открыть чат. Ссылка в формате t.me/username.