$(window).scroll(function() {
                var top = $(document).scrollTop();
                if (top < 300) $(".top_nav").removeClass('fixed');
                else $(".top_nav").addClass('fixed');
            });

.fixed{
position: fixed;
//дополнительные стили
}

$(document).ready(function () {

    function validateEmail(email) {
        const re = /^(([^<>()\[\]\\.,;:\s@"]+(\.[^<>()\[\]\\.,;:\s@"]+)*)|(".+"))@((\[[0-9]{1,3}\.[0-9]{1,3}\.[0-9]{1,3}\.[0-9]{1,3}\])|(([a-zA-Z\-0-9]+\.)+[a-zA-Z]{2,}))$/;
        return re.test(String(email).toLowerCase());
    }

    $(document).on('keyup', 'input[type=email]', function(){

        const value = $(this).val();

        if(!validateEmail(value)){
            //некорректный email, показать крестик
        }else{
            //некорректный email, показать галочку
        }
    })

});