IckiSanZ

if (isCyrillic(keyName)) { //вывод сообщения о не правильной раскладке
   //нужно добавить
    var modalWindowCaps = document.getElementById("alertWindowText");
    modalWindowCaps.innerHTML = ("Раскладка!");
    ...
}  else if (capsLockEnabled && keyName != null) {
    var modalWindowCaps = document.getElementById("alertWindowText");
    modalWindowCaps.innerHTML = ("Включен CapsLock!");
    ...
}

var keyName;
var counterLetters = 0;
document.addEventListener("keypress", (event) => {
    keyName = event.key;
    checkUsersKey("something");
});
function checkUsersKey (levelText) {
    if(levelText[counterLetters] == keyName){
        alert("true");
    }
}

let symbolsCounter = 0;
let mistakesCounter = 0;
function checkUsersKey (levelText) {
  var theEnd = false;
  var counterLetters = 0;
  var keyName;
  while (theEnd != true ) {
    document.addEventListener("keypress", (event) => {
      keyName = event.key;
      if(levelText[counterLetters] == keyName){
          alert("true");
      }
    })
    

    theEnd = true;
  }
}
checkUsersKey("something");

// Не очень понятно, зачем эти переменные
let symbolsCounter = 0;
let mistakesCounter = 0;

function checkUsersKey (levelText) {
  var theEnd = false;
  var counterLetters = 0;
  var keyName;
  
  function checkKeyEvent(event) {
    keyName = event.key;
    // Это условие прекращает ваш "цикл". 
    if(theEnd) {
        document.removeEventListener('keypress', checkKeyEvent);
        return;
    }
    if(levelText[counterLetters] == keyName){
        alert("true");
    }
    // У вас в коде почему-то в конце цикла theEnd = true, это значит, что цикл не повторится.
    // Мне кажется это ошибка, но я все равно перенес ее в код для примера.
    // Можете изменять переменную в true например когда получите нужную клавишу. 
    theEnd = true;
  }
  document.addEventListener("keypress", checkKeyEvent);
}
checkUsersKey("something");