Не понятно как именно вы хотите чтобы работал код, но сейчас он работает согласно тому, что вы написали.
Вы написали функцию и вызываете ее один раз. В тот момент, когда вы она выполняется, в переменной keyName действительно еще ничего нет.
Для того, чтобы ваша функция выполняла проверку после нажатия на клавишу, необходимо добавть ее вызов в функцию, которая исполняется по нажатию на клавишу.
var keyName;
var counterLetters = 0;
document.addEventListener("keypress", (event) => {
keyName = event.key;
checkUsersKey("something");
});
function checkUsersKey (levelText) {
if(levelText[counterLetters] == keyName){
alert("true");
}
}
