Форма на странице лишь элемент интерфейса. По нажатию кнопки выполняется запрос, в который передаются данные из этой формы.
Раз ты хочешь отправить этот запрос, то зачем тебе эта форма? Тебе нужно узнать, какой запрос выполняется по нажатию кнопки и выполнить этот запрос из C# (если тебе позволит это сделать сайт-сервис он же сервер).
Чтобы узнать запрос, нужно открыть консоль разработчика на F12, перейти во вкладку Network и нажать на кнопку отправки формы. Там ты увидишь запросы, которые будут происходить, один из них твой.