Дмитрий

Одно из полей (в данном случае data в реализации item<Edge>) не имеет конструктора по умолчанию. Есть три пути.

РАЗ. Придумать, как сделать, чтобы конструктор всё-таки был.

class Edge : public EdgeBase
{
public:
  Edge (Point* firstPoint, Point* secondPoint) { init(firstPoint, secondPoint); }
  Edge () { init(NULL, NULL); }
  void init (Point* firstPoint, Point* secondPoint)
  {
    this->firstPoint = firstPoint;
    this->secondPoint = secondPoint;
  }
private:
  Point* firstPoint;
  Point* secondPoint;
};

ДВА. Если объект копируется/переносится, можно воспользоваться такой штукой. С вашего позволения, упрощу задачу и вместо Edge заведу другой класс — ImmutableInt. Правда, этот код — попытка совместить ежа с ужом (непонятно, какую концепцию должен поддерживать Payload), но, тем не менее, работает.

#include <iostream>

class ImmutableInt
{
public:
    explicit ImmutableInt(int x) : fData(x) {}
    int data() const { return fData; }
private:
    int fData;
};

template <class Payload>
class ListItem
{
public:
    Payload payload;
    ListItem* next;

    ListItem() : next(NULL) {}
    ListItem(const Payload& x) : payload(x), next(NULL) {}
};

// Так писать нельзя — эта конструкция расшаблонивает все функции,
// а конструктора по умолчанию как не было, так и нет!
//template class ListItem<ImmutableInt>;

int main()
{
    ListItem<ImmutableInt> li(ImmutableInt(42));
    std::cout << li.payload.data() << std::endl;
    return 0;
}

ТРИ. Воспользоваться переменными шаблонами (variadic templates) C++11.

#include <iostream>

class ImmutableInt
{
public:
    explicit ImmutableInt(int x) : fData(x) {}
    int data() const { return fData; }
private:
    int fData;
};

template <class Payload>
class ListItem
{
public:
    Payload payload;
    ListItem* next = nullptr;

    template<class... Args>ListItem(Args... args) : payload(args...) {}
};

int main()
{
    ListItem<ImmutableInt> li(42);
    std::cout << li.payload.data() << std::endl;
    return 0;
}

P.S. Хотя ImmutableInt — семантически тот же int и теоретически explicit не надо, всё-таки отметил — просто чтобы показать, что во втором случае мы передаём параметром ImmutableInt<42>, а в третьем — 42.

P.P.S. Я упомянул слово «концепция». Это набор требований к типу. Что-то типа интерфейса — но, во-первых, никак не связано с ООП и его динамическим полиморфизмом, и, во-вторых, не столь жёсткое: как ты интерфейсом из Java наладишь концепцию «есть конструктор копирования» или «может делить себя на число и что-то выходит»? Синтаксическая поддержка концепций откладывается на C++17, но уже в C++03 было несколько концепций: InputIterator, DefaultConstructible, CopyAssignable и другие. А пока… концепция не поддерживается — ошибка компиляции где-то в страшенном стандартном хедере.

P.P.P.S. Написав код

template<typename type_t>
struct item
{
  item* next;
  type_t data;
};

вы автоматически потребовали от type_t концепцию DefaultConstructible (есть конструктор по умолчанию)

Вы же выделяете массив, поэтому по-моему здесь нужен указатель на указатель:

int allocate_lines(struct line** lines, int Number)
{
  lines* = (line*)malloc(Number*sizeof(struct line));
  if (!lines)
  {
    return CANT_ALLOCATE_LINES;
  }
  return OK;
}
...
struct line * lines;
error = allocate_lines(&lines, View.Model.Edge.Number);