Юрий

А зачем там str и что вы имели ввиду, написав это?
Просто уберите.

function camelize(str) {
    return str
        .split('-')
        .map(function(word, index) {
            if (index == 0) {
                return word;
            } else {
                return word[0].toUpperCase() + word.slice(1);
            }
        })
        .join('')
}

let str = prompt('Введите текст через дефис');
alert(camelize(str));

Можно и покороче

function camelize(str) {
    return str
        .split('-')
        .map((word, index) => index == 0 ? word : word[0].toUpperCase() + word.slice(1))
        .join('')
}

let str = prompt('Введите текст через дефис');
alert(camelize(str));

const upper = (word, index) => index == 0 ? word : word[0].toUpperCase() + word.slice(1);
function camelize(str) {
    return str
        .split('-')
        .map(upper)
        .join('')
}

let str = prompt('Введите текст через дефис');
alert(camelize(str));

const upper = (word, index) => index == 0 ? word : word[0].toUpperCase() + word.slice(1);
const camelize = str => str.split('-').map(upper).join('');

let str = prompt('Введите текст через дефис');
alert(camelize(str));

alert(camelize(str));
надо же передать аргумент в функцию..

и зачем тут .str в .str.join('') – уберите, оставьте только .join('')

function camelize(str) { // на вход приходит строка
   return str      // вот тут пока ещё строка
     .split('-')   // здесь из этой строки сделали массив, разбив её по символу дефиса
                   // ниже пошёл массив ["lol", "kek", "cheburek"]
     .map((word, index) => index == 0 ? word : word[0].toUpperCase() + word.slice(1)) // что-то сделали с каждым элементом массива
     .join(''); // соединяет ['my', 'Long', 'Word'] в 'myLongWord'
 }

Теперь упростим непонятную строку.
К ней пришёл массив, у которого вызывается метод map() – он просто применит функцию в нём к каждому элементу массива. На выходе получится новый массив.

.map((word, index) => index == 0 ? word : word[0].toUpperCase() + word.slice(1)) //**

// то же самое, что:
.map(
  function(word, index) {
     return index == 0 ? word : word[0].toUpperCase() + word.slice(1);
  }
)

// то же самое, что:
.map(
  function(word, index) {
    if (index == 0) {
      return word;
    } else {
      return word[0].toUpperCase() + word.slice(1);
    }
  }
)

Метод массива .map() вызывает функцию, которая в нём аргументом, для каждого элемента массива и передёт в неё следующие три параметра:

1. Текущий обрабатываемый элемент массива.
   
2. Индекс текущего обрабатываемого элемента в массиве.
   
3. Массив, по которому осуществляется проход.
   

У Вас только 1 ul на странице, а переменная i у Вас вообще никак не относится к найденным ul

let ula = document.getElementsByTagName("ul")[0];

for(let i = 0; i < arr.length; i++) {
  ula.insertAdjacentHTML('beforeend', `
  <li>
    <a href="#">${arr[i]}</a>
  </li> 
  `);
}