Приставка к url сайта, как реализовать?

Это называется сабдомен. Погуглите данную тему. Она достаточно хорошо разжевана.

Laravel. Авторизация, как правильно зарегистрировать права (Gate)?

Как насчет ролей и прав? Если у пользователя нет опред. роли с правом доступа в админ. панель. Значит он и не может выполнять данное действие находясь там.

Как сделать такой поиск?

И не забудьте про throttle, иначе запрос будет отправляться при вводе каждого символа.

Можно ли написать функцию, которая проверяет существует ли переменная или нет (js)?

Честно говоря, так и не понял, в чем практическое применение Вашей функции.

Предполагаю, что Вы просто хотите разобраться с биндингами и контекстами. Вот ссылка на материал по данной теме:

https://medium.freecodecamp.org/execution-context-...

Как защитить форму от спама, но не капча, потому что атакуют напрямую скрипт?

эм... А почему бы не сделать валюдацию капчи на стороне скрипта? И о защите от CSRF хорошо бы тоже подумать, как пишут выше.

Как задать background?

Алексей Тутубалин: Еще я бы вам посоветовал бэкграунд из .containerr переместить внутрь элемента, вместе со всеми стилями, которые к нему относятся. Так как свойство overflow:hidden затирает выпадающее меню на некоторых страницах

Как задать background?

Алексей Тутубалин: Не стал разбираться в причине, но я думаю по задумке там должно быть еще и свойство у body
background-attachment: fixed;

Как наложить градиент на тег img?

Dextersis: Попробуйте посмотреть в сторону библиотеки:
https://github.com/awgreenblatt/gradientmaps

Как реализовать проверку состояния чекбокса и выполнить действие?

Еще можно через this.checked внутри блока события