Сергей Протько

Почитайте чего на тему разделения ответственности

Так же если вы считаете что "страничка медленно загружается" - надо профилировать.

1. На уровне браузера - просто в дебагере посмотрите что именно медленно грузится. Возможно медленно скачиваются сами картинки.
2. На уровне страницы - возможно сервер далеко расположен. А может страничка медленно генерится.
3. На уровне PHP - есть отдельные профайлеры, начать можно тупо с логирования времени выполнения отдельных кусков кода. Заканчиваем специализированными инструментами вроде blackfire.io.

Раньше использовал mysql, и до сих пор все нравилось, как не понадобилась иерархическая структура.

Казалось бы, причем тут mongodb. Мускуль json умеет (хоть и не так удобно), и подозреваю что речь все же идет о графах. В этом случае стоит графовую БД брать (Neo4j например).

Словом уточните свою задачу.

А вот как их получать?! Не смог найти свойства и метода.

Читаем документацию.

dev.mysql.com/doc/refman/5.7/en/regexp.html

на сколько это рационально с точки зрения производительности?

поскольку индексы использоваться не будут - рационально только на очень маленьких выборках (до 1000 записей например). В вашем случае вам даже регулярки не нужны - достаточно обычного matching/like.

В идеале для подобных задач стоит использовать вещи вроде Elastic Search. У MySQL хоть и есть поддержка full-text search и весьма неплохая, но далеко не такая же как у эластики.

Как решаются подобные проблемы в серьёзных проектах?

Никак. Оптимизируют сам поиск, используя денормализацию данных что бы максимально упростить поиск и сделать его как можно менее напряжным для сервера. Ну и что бы "сократить" количество запросов используют "приемы" вроде throttle/debounce на клиенте, что бы не на каждый кник мышкой слать запрос, а когда пользователь не проявлял активности, к примеру секунду.

Частично эту проблему можно решить HTTP кешированием. То есть все парамеры поиска ходят в queryString а значит по одному URI мы можем иметь нужную страницу/данные. Однако вармат такого кэша будет занимать много времени, а сложность инвалидации будет так высока, что нужно 10 раз подумать прежде чем решаться на такое.

то я вовсе не понимаю зачем нужен Apache (говорю именно о нём, т.к. ни о чем другом не слышал).

Гуглим про HTTP

Сейчас геморрой есть, чтобы поставить всё это и сконфигурировать, надо разбираться.

Вам сейчас достаточно тупо php поставить. php.net/manual/ru/features.commandline.webserver.php Apache вам не нужен.

если мы говорим о postgresql - есть json, есть массивы.

А так - EAV.

1-ый вариант. Не усложняйте на ровном месте.

explain + индексы. А так - это просто баловство.