Берите result_add из замыкания
function prov(id_knopki){
var result_add = 0;
alert("Номер операции - "+id_knopki);
jQuery.ajax({
type: "POST",
url: "prov_prav_polz.php",
dataType:"text",
data:{"id_knopki":id_knopki},
cache: false,
async:false,
success:function(response){
alert(response);
result_add = response;
if(result_add=="1") { alert("Операция разрешена"); } else { alert("Операция запрещена"); }
},
error:function(xhr, ajaxOptions, thrownError){
alert(thrownError); alert("Ошибка выполнения скрипта");
}
});
return result_add;
}