Decadal

Деликатнее всего - узнать для начала, работает ли сайт, содержимое которого вы пытаетесь прочитать, с теми параметрами, которые вы передаете.

Кроме того, пробел в адресной строке должен кодироваться как %20 (url_encode, читайте об этом).

public function __call($method, $arguments)

эта конструкция вызывается только тогда, когда $method не был явно определен у класса.

class App extends BaseClass
{
    function hello()
    {
        echo "hello world";
    }
}

здесь вы явно определили функцию. Можете проверить это, добавив здесь:

public function __call($method, $arguments)
    {
        echo "------";  // kak-to tak
        if (isset($this->{$method}) /*&& is_callable($this->{$method})*/) {
            return $this->{$method}($arguments);
        } else {
            throw new Exception("Fatal error: Call to undefined method BaseClass::{$method}()");
        }
    }

какой-либо вывод. Вы заметите что он не выполнится вообще.

В случае же с замыканием вы вызываете функцию $app2->hello(); но её не находит явно. Потом вы снова вызываете функцию уже в теле метода __call: $this->{$method}($arguments); и её снова не находит явно. Таким образом создается бесконечный вызов __call.

А все потому что property и method - разные вещи. И пусть у класса есть свойство с именем hello, но у него нет метода с именем hello - как следствие, вы обречены на зацикливание.

О господи, ооп которое php заслужил.

$this->summ_coupon= $summ_coupon; // записываем сумму купона в переменную, чтобы вывесим ее во view
          Lib_SmalCart::getInstance()->setCartData();// пересчитываем маленькую корзину
          header('Location: /order?thanks='.$order_id);
          exit;

есть предположение что вот здесь теряется ваш summ_coupon.
вы прерываете выполнение приложения, все состояния будут утрачены. Тогда как в случае с ошибкой вы не делаете прерывания выполнения приложения (exit), и, как следствие, все переменные остаются.

Скажем так, вот эти строки:

if(isset($_REQUEST["thanks"])){
         //формируем сообщение 
          $this->message="Ваша заявка <strong>№ ".$_REQUEST["thanks"]."</strong> принята.";
          $this->dislpay_form = false;//  форму ввода данных больше не покзываем
      }

выполняются уже другим запросом, который не знает ничего про сумму купона, которую вы пытались "сохранить" в поле класса в прошлом запросе.

php 7 - typehints.

function fname(string $str, \SoapClient $client) {
//...
}

с указанием возвращаемого типа:

function fname(string $str, \SoapClient $client) : int
{
//...
return 0; 
}

php 7.1
nullable parameters

/**
 * @param $str string|null
 * @param $client \SoapClien  
 **/
function fname(?string $str, \SoapClient $client) {
//...
}

$array1 + $array2;

вы можете сделать параметры в своем скрипте вроде --offset 0 --max 10000
потом запустить несколько скриптов параллельно с разными параметрами, чтобы они не пересекались (т.е. чтобы скрипты работали с разными данными)
вот вам бюджетный параллелизм

foreach ($day as $dates=>$v) {
    $stmt3->bindParam(':day_1', $day);
    $stmt3->bindParam(':day_2', $day);
    $stmt3->bindParam(':day_3', $day);
    $stmt3->bindParam(':id', $id);
    $id = $v['id'];
    $stmt3->execute();
}

подумайте об этом фрагменте.
у вас три даты. Массив из трех дат. Вы перебираете каждую дату.
Для каждой даты делаете три действия (ещё и неправильных). Делаете три апдейта, по одному на каждой итерации.

Либо делайте так:

$stmt3->bindParam(':day_1', $day[0]);
    $stmt3->bindParam(':day_2', $day[1]);
    $stmt3->bindParam(':day_3', $day[2]);
    $stmt3->bindParam(':id', $id);

обходясь без цикла. Либо, если ожидается рост количества полей day4 day5 dayN - перебирайте в цикле и присваивайте плейсхолдерам итератор
$stmt3->bindParam(':day_'.$i, $day[$i]);
но тогда учтите что первая часть апдейта тоже должна генерироваться через перебор.

И всю эту махину завершайте одним вызовом execute.

вы делаете что-то ужасное
пожалуй, помогу вам

$array[$k][] = '<a href="" data-content="'.$heroes.'"><img /> </a>';

при условии что $heroes - строка.
всё дело в том, что <?= используется за пределами <?php ?> тегов.
Вы же пытаетесь их использовать в исходном коде на php, не надо так.

require('form.php');

замените на

require_once('form.php');

в первобытном виде так:
$curl->page('https://www.site.com/'.$add);

есть куча вариаций на тему, начиная от sprintf и заканчивая более умной обработкой urlencode - потому что в тот момент, когда $add начнет содержать пробелы или спецсимволы, ваш код рухнет.
А есть вообще космос вроде http_build_query

Вам предстоит узнать еще много нового, в рамках одного ответа всё не рассказать.
Vue это фронтенд, штука, отвечающая за интерактивность интерфейса, поэтому в её документации практически нет ничего о работе с сервером. Но сама работа с сервером есть, строится она на основе запросов на сервер. Для вас актуален AJAX (это тоже фронтенд, но не часть vue).
AJAX позволяет запросить что-то у сервера без перезагрузки страницы. Теперь мы подбираемся к PHP - запрос должен обработать серверный язык, и лучше бы вам использовать фреймворк, а не чистый PHP.
В общем виде - сервер разбирает параметры запроса и на их основе отстраивает запрос в базу данных (SQL->DML). Здесь начинается mysql.
В ответе на sql-запрос содержится срез данных, которые запросил пользователь. Ответ преобразуется сначала в массивы или объекты выбранного вами серверного языка, а потом в JSON (или xml, или другой формат данных), после чего отдается в обработчик запроса AJAX.

Чтобы дать рабочий пример, нужно скинуть вам целый проект. Ознакамливайтесь с упомянутыми мной технологиями отдельно, вам придется потратить на это пару вечеров)

how about name: <?= addslashes($row['country']) ?> ?