CityCat4

Есть. Почитайте это - там упоминается блокировка прокси, как средство борьбы с телегой.
Скорее всего будет как с VPN - ты либо не пускаешь туда, куда сказал РКН, либо сам будешь заблокирован. Толку от такого прокси конечно будет немного...

Бывает и статический. Если купить. Если не купить - укажете адрес, а им, кроме Вас, пользуется еще стопицот человек...

squid
Но временная зона скорее всего будет его собственная.

Ну, если Вы сами не можете сформулировать запрос - почему Вы думаете, что здесь это станут делать за Вас? Тем более, что Вы знаете условия задачи полностью - а здесь известна только часть.

ping vk.com, mail.ru - свободно, есть обмен пакетами

Что полезного даст юзеру пинг ВКонтактика? Да ровно ничего :) Проверка не имеет смысла.

файл hosts на локальной машине чистый

В корпоративном окружении при заблокированных настройках адаптера не имеет смысла - нет прав админа, файл hosts не исправляется.

в браузере страницы не открываются.

Настройки прокси открываются? Прокси установлено?

Если настроено прокси, если в нем есть списки ограничений - то в зависимости от этих списков и параноий тех, кто их ведет и ими управляет - либо плагин с VPN наружу, либо никак :)

С дедика ходить :) Поставить там графическую оболочку, FF - и вуаля :)

После нового закона о запрете анонимайзеров можно и запопасть...

Ни VPN, ни прокси не спасет. Сколько уже раз писал - есть технология "отпечатка браузера", которой вообще пофиг прокси, VPN и прочее - она идентифицирует конкретный конечный браузер и ось. Поставьте несколько браузеров - FF, хром, ЯБ, ишака, оперу.
Еще более надежный метод - поставить несколько виртуалок и в каждой разный браузер.

Под винду не знаю. https вскрывает squid с бампингом, наверняка есть еще, но в энтерпрайзе сквида хватает. В режиме отладки он прям пакеты записывает, лог просто гигантский.

А задача-то какова? Показать большой болт РКН? Для этого прокси не обязателен, достаточно VPN до VPS поднять и ходить через него. Прокси - обычно нужен тогда, когда нужен контроль за потоком.

Это не совсем так работает. Даже если прокси логов не ведет, я не думаю, что в Ваших интересах доказывать, что Вы и есть злоумышленник, скорее же наоборот :) Но вопросы "почему Вы использовали прокси" задаваться будут.

я почти уверена что никакого специального софта у нас нет

Это пяяяяять!

Логируется, как сами понимаете - все :) Вот Вы вопрос на тостер отправили - а у админа уже лежит его текст :) Ezhyg и poisons вовсе не шутили, между прочим :) Логируется не у админа, у админа может максимум консоль управления стоять, логируется на сервере. И хранится столько, сколько нужно. Что логируется? Да все :) Когда вошли в систему, когда вышли, какие программы запускали, какие поисковые запросы вводили, на какие сайты ходили (с перехватом ввода), от кого и кому письма писали, о чем в мессенджерах общались, какие файлы создавали-удаляли... Ах да, еще скриншоты рабочего стола каждые 10 минут...

Тут понимаете даже и на прокси смотреть не надо, хотя там отдельная "пузомерка" стоит. И админ, получив запрос, способен будет восстановить любой Ваш рабочий день в пределах горизонта хранения...

Нет, это не "черная фантастика". Это возможности реальной, существующей системы мониторинга пользователей. Называть не буду, чтобы в рекламе не упрекали.

Нет.

А кое-где даже в ручном режиме придется попыхтеть - некоторые "борцуны" позволяют не более N запросов в единицу времени.
Мне еще ни разу не попадались списки, которые просили денег за удаление, но бывало, что приходилось довольно долго и нудно переписываться с их саппортом, доказывая, что я не верблюд, верблюд уехал с цирком :)

"...и залпы тысячи орудий слились в один протяжный вой..." - всем известное четверостишие, которое всегда возникает при чтении такого потока сознания.
1. Укажите модель роутера (можно просто фотку нижней стороны корпуса :) если затрудняетесь)
2. Задача роутера - передавать пакеты из LAN в WAN и наоборот, фильтровать их, если необходимо, обеспечивать NAT, если надо. Есть еще много чего, что может делать роутер, но перечисленное - его главная задача.
3. FTP - протокол передачи файлов (File Transfer Protocol) и одноименный клиент обычно. К проксированию и доступу в инет не имеет никакого отношения. Поддержка его на роутере обычно обозначает, что можно вставить флэшку и качать с нее внутри сети.
4. Telnet - очень старый протокол удаленного управления (TELecommunication NETwork). Обычно используется для управления "тупыми" устройствами - по причине своей простоты. Не обеспечивает НИКАКОЙ безопасности, пароли передает в открытом виде. К проксированию и доступу в инет не имеет никакого отношения.
5. Bitvise - SSH клиент для Windows. Если роутер умеет управляться по ssh - то этой программой можно им управлять. Через командную строку. К проксированию опять же не имеет ни малейшего отношения.

Уж определитесь как-нибудь - чего надо-то? Роутер и без всякого проксирования даст доступ в инет - если он правильно настроен конечно.

На центосе это переменные окружения HTTP_PROXY и FTP_PROXY (их формат неплохо описан в конфиге lynx)
В винде и того проще - настройки IE - это одновременно настройки системы, их используют все, кроме FF. Когда-то и опера имела свои настройки, но потом слилась.

Проверяют сайт на наличие открытого прокси, наверное. Точно можно сказать только увидев этот checkProxy.ashx