class User{
   constructor(){
        this.autoRun();
   }
   autoRun(){
          // запустится при создании класса 
   }
}

const searchText = ‘....’;
const regex = new RegExp(searchText, 'gi'); // вынести за цикл filter

var matches = array.filter(state=> {
  const name = state.name, 
         data =  state.data.toString();
    return regex.test(name) || regex.test(data);
});

у вас в методе валидации попытка использовать два контекста.
один указывает на input - this.value , другой на клас - this.validatePhone, так не пойдет)
измените код чтобы this указывал на класс

formValidate(e) {
        const el = e.target; // элемент на котором произошло событие 
        const { value, name} = el; // значение и имя элемента 
        switch(name){
            case ‘phone’:  ... this.validatePhone(value) ...
        ...
        }
}

при вызове для сохранения контекста на класс, используйте стрелочную функцию

form.elements[i].addEventListener('blur', e=> validation.formValidate(e));

Стандартное решение вешать событие event click на внешний блок <div/>.
Тогда в event.currentTarget - получите элемент на котором событие произошло, ну и далее логика Ваша.

P.S. Приз моих симпатий за внятно сформулированный вопрос.

Постраничный вывод таблиц стандартный приём в web программировании. Можно сделать самому но быстрее и надежней использовать пакеты. Для примера привожу ссылки
https://www.npmjs.com/package/react-paginate
https://www.npmjs.com/package/react-js-pagination