Сделайте отдельный компонент, который будет представлять ваш dropify инпут. У него в mounted инициализируйте dropify. И используйте этот компонент в своей таблице вместо обычного input'а.
А браузер запоминает какие вкладки были открыты, и потом восстанавливает? Если да, то и сессию наверное восстанавливает. Решается настройками браузера.
