Boris Köln

Вы сами решаете, что и как сделать:

1. Ничего не обновлять автоматически. Как перейдет на новую страницу - так и перерисуете всё. Если окажется на несуществующей странице - сделаете редирект на существующую. Просто.
   
2. По таймауту из браузера делать ajax-запросы на сервер с указанием текущей страницы. Если что-то изменилось - перерисовать, при необходимости сделать редирект. Криво.
   
3. Через сокеты сервер всем клиентам шлет все изменения (вернее, не все, а только те, к которым конкретный клиент имеет доступ). Если что-то изменилось - перерисовать, при необходимости сделать редирект. Красиво.
   

Подписаться (например, с помощью Promise) на изменение status, p1.status, p2.status.
При любом вышеуказанном событии выполнять проверки и запускать startGame.

Как запустить Socket.io как отдельный сервис?

RTFM https://socket.io/docs/

Но передача данных между ними вообще не происходит. В чем может быть проблема?

По вышеуказанной ссылке есть много примеров. Сделайте аналогично.

var fs = require('fs');

var options = {
  key: fs.readFileSync('ssl/privkey.pem'),
  cert: fs.readFileSync('ssl/fullchain.pem')
};

var httpServer = require('http').createServer();
var httpsServer = require('https').createServer(options);
...

https://github.com/nuxt/nuxt.js/tree/dev/examples/...

Возможно, сертификат кривой. Укажите ссылку на свой сайт.

Попробуйте другой сертификат. Например, letsencrypt

1. Разве https://app.com принадлежит вам?

2. Укажите в браузере (или curl, wget и пр.) ваш адрес (не забудьте про порт) и проверьте сами, что не так.

socket.io-2.0.1.js:2 GET https://aviso.bz:3000/socket.io/?EIO=3&transport=p... 0 ()
socket.io-2.0.1.js:1 engine.io-client:socket socket error {"type":"TransportError","description":0} +8s

что это все значит, не понятно.

Капитан Очевидность подсказывает, что указанный адрес недоступен.

Node.js получает и сохраняет сообщения. Когда подключается нужный собеседник - ему отправляются "его" сообщения.

Что быстрее: записать на бумагу / сказать секретарше / запомнить самому?

Почему socket.io при кластеризации нужно вешать на разные порты?

Чтобы хоть как-то отличать их между собой на одном домене.

А тот же EXPRESS.JS спокойно на одном весит.

Только если разные домены.

P.S. "вЕсит" - проверочное слово "вес"?

lmgtfy.com/?q=Node.js+chat

При аутентификации юзера на PHP:

1. сгенерировать токен с id, ip, user-agent, временем
   
2. зашифровать его
   
3. записать в куку.
   

На клиенте на JS:

1. взять токен из кук,
   
2. передать через сокет. Чтобы никто не перехватил - используйте https.
   

На сокет-сервере:

1. расшифровать токен,
   
2. проверить ip, user-agent
   

Приглашаются телепаты:
1. Node.js слушает порт 8000, а из браузера идет обращение на порт 80.
2. сокет на /main, а загрузка либы почему то по другому адресу
Nginx роуты меняет?

Для https надо иметь сертификат, хотя бы самоподписанный. И отдавать его. Например:

if (fs.existsSync('ssl/cert.key') && fs.existsSync('ssl/cert.crt')) {
    options = {
      key: fs.readFileSync('ssl/cert.key'),
      cert: fs.readFileSync('ssl/cert.crt')
    };
    server = require('https').Server(options, express);
  } else {
    server = require('http').Server(express);
  }

  io = require('socket.io').listen(server);

socket.on('connect')

Если вопрос теоретический, то Memcache быстрее Mysql.

Если практический, то при правильной бизнес-архитектуре разницы по скорости почти не заметите. Работать с Mysql проще и надежнее.
Я бы все-таки кэшировал в самой ноде логины-пароли после обращения к БД. А про обновлении пароля или бане юзера - эту информацию из PHP пушить напрямую в Node с помощью https://github.com/Wisembly/elephant.io . Но эту оптимизацию можно оставить и на потом. Пока сделайте работающий прототип без кэширования с запросом в БД на каждый коннект.

Нормально.
Нагрузка как клиенту, так и серверу не больше, чем загрузить какую-нибудь статик-картинку.

Если приложения независимые, лучше так и оставить их отдельными.
Разве что для удобства пусть все слушают один порт, но на разных доменах.