Илья Зверев, Технически поддерживают push. Например, ЯндексНавигатор иногда шлет мне уведомления типа "31 декабря будет закрыт проезд по улицам ...".
Для рекламы обычно не используют, ибо это как popup/popover реклама в браузере - репутация дороже. Но тут вопрос лишь в стоимости.
Вы уже перепробовали все поисковые движки (sphinx, elastic/lucene, ts_query, gin-index и другие), они по какой-то причине не подошли, и сейчас вы пишете свой с блэкджеком и шлюхами?
Что просили
, то и получили.
Потому что он ошибочный, даже если и дает нужный результат. При group by нельзя select других полей. А у вас просто подавлены ошибки.