Анатолий

Поправьте

self.cursor.execute("SELECT * FROM answers WHERE text = " + str(text))

на

self.cursor.execute("SELECT * FROM answers WHERE text = '" + str(text) + "'")

Всё правильно.
Сначала он выдал записи за 17 апреля (одну), потом за 19 апреля (четыре, и одну из них с QtyVerifyTime = 1 выдал до QtyVerifyTime = 0). В чём собственно проблема?

SELECT * FROM sc_table WHERE Status = '1' ORDER BY `QtyVerifyTime` DESC, `VerifyDateTime` ASC LIMIT 5

select
  t1.id,
  t1.text,
  t1.text_last_update,
  t2.text_version

from tabel1 t1

left join table3 t3 ON t3.text_id = t1.id
left join (
  select t.id, t.text_id, t.text_version, t.`date`
  from table2 t
  where t.`date` <= t3.`date`
  order by t.`date` desc limit 1
) t2 ON t2.text_id = t1.id

where t3.user_id = 1

Вы сначала присваиваете переменной chkVal значение value чекбокса, а потом меняете его (value чекбокса), НО в переменной chkVal остаётся старое значение.

Примеры выхода из ситуации:

<script type="text/javascript">

$(document).ready(function(){ 
	$('.checkbox').on('change', function (e) {
		var chk = $(this).attr("id");

		if($(this).is(':checked')) {
			$(this).parent().parent().css('background','none');	
			$(this).val('1');
		} else {
			$(this).parent().parent().css('background','rgba(0, 123, 255, 0.1)');
			$(this).val('0');
		}
		
		var chkVal = $(this).attr("value");
		
		$.ajax({
			url: '1.php',
			type: 'post',
			data: {id: chk, chkVal: chkVal },
			success: function(data) {}
		});

	});	
});

</script>

<script type="text/javascript">

$(document).ready(function(){ 
	$('.checkbox').on('change', function (e) {
		var chk = $(this).attr("id");
		var chkVal = $(this).attr("value");

		if($(this).is(':checked')) {
			$(this).parent().parent().css('background','none');	
			$(this).val('1');
			chkVal = 1;
		} else {
			$(this).parent().parent().css('background','rgba(0, 123, 255, 0.1)');
			$(this).val('0');
			chkVal = 0;
		}
		
		$.ajax({
			url: '1.php',
			type: 'post',
			data: {id: chk, chkVal: chkVal },
			success: function(data) {}
		});

	});	
});

</script>

В цикле foreach делайте проверку - равен ли $elem[id] айдишнику выбранного города, если равен, то добавляйте атрибут selected="selected" в option.

foreach ($data as $elem) {
  $selected = ( $id == $elem[id] ? 'selected="selected"' : '' );
  $contentCity .= "<option $selected value=\"$elem[id]\">$elem[city]</option>";
}