Вячеслав Плиско

foreach ($Category as $Category)
WTF? зачем вы используете одинаковые имя для коллекции и айтема в ней

Categories::orderBy('name')->get()

Это проблема не на уровне laravel. Делается через jvascript. Вам предложили вариант с jquery, можно извратиться с ajax запросом всей страницы и подменой всего body, что чревато багами.
Хотя оптимальный вариант с перезагрузкой страницы, тем более в урле сохранится язык, чтобы легко можно было добавить в закладки или послать по скайпу-емейлу.

PHP дольше для интерфейсов и вебморд, а для апи лучше использовать nodejs или go.

Нативной функции вроде сейчас нет, но можно для mysql сделать так.
ModelName::orderBy(DB::raw('RAND()'))->take(10)

Вы хотите не того, вызывайте один и тот же метод, а уже в нём дергайте нужный на основании роли

public function home() {
    $role = Auth::user()->role;
    $method = 'role' . $role; 
     $this->{$method}();
}

Посмотрите логи сервера, что за ошибка.

Воспользуйтесь каким-нибудь Postgres-XL и решайте проблемы базы данных на стороне баз данных, а не тащите эту логику в приложение.

Не надо городить sql, на eloquent всё просто и витебельно.
Получаем всех пользователей (User) у которых (whereHas) ролей с именем admin (where('name', 'admin')) меньше 1.

$users = User::whereHas("role", function($q) {
  $q->where('name', 'admin');
}, '<', 1)->get();

Прочтите документацию laravel.com/docs/5.1/controllers#dependency-inject...

// инъекция в конструктор 
    public function __construct(User $users) {
        $this->users = $users;
    }
    public function index() {
        return $this->user->all();
    }
// инъекция прямо в метод
   public function index(User $users) {
        return $users->all();
    }

Случаем это не BOM?

С архитектурой laravel нужно быть аккуратным, там много плохих практик, которые используются для упрощения апи и синтаксического сахара.
В данном случае нужно копаться с контейнером laravel.com/docs/5.1/container чтобы понять как создаются и хранятся сервисы, как работает лараволовский фасад.
Есть хорошие слайды по паттернам внутри ларавел www.slideshare.net/sparksphill/software-design-pat...

Судя по скриншоту у вас либо проблемы с правами на файл, нетбинс в дереве не отображает данного файла, хотя другие с точкой показываются. Либо проблема с кешем нетбинса, лечится перезагрузкой.