Так же, как и без vue )
Запрос это запрос. В него ты передаёшь данные, которые надо отправить.
А вот форму ты можешь обрабатывать как тебе угодно.
Можно событие onSubmit, можно повесить просто кнопку и по кнопке получать по css селекторам данные, можно навязать v-model.
