ping ничего не покажет
Покажет tracert
И да, роутер - это маршрутизатор, он по определению маршрутизирует МЕЖДУ сетями.
Добавление ещё одного роутера добавит ещё одну сеть, выбирайте какую:
или между первым и вторым роутером, или между вторым роутером и ПК.
ip точно изменится - или у ПК, или у шлюза.
