Aetae

1. У тебя вообще запрос не проходит, cors не полностью настроен на сервере.
2. Даже если будет настроен - кука поставится для сервера, а не для клиента, т.к. адреса разные.
3. Если в проде домен бэка и фронта будет един, то просто используй proxy встроенный в devServer.

Сам по себе браузер не предоставляет средств для кодирования в какую-либо кодировку кроме utf-8 (хотя под капотом всё это, само собой, есть и в определённый момент такой функционал мог бы появиться, но был выпилен из стандарта, чтоб этим нацистам икалось).
Тебе надо найти любую функцию "utf-8 to win1251" и кодировать текст вручную перед тем как класть в строку.

1. Ты уверен что хочешь замонкипатчить весь класс и всех потомков, а не конкретный его инстанс?
2. У тебя ряд никак не связанных с ts ошибок, эта строчка: this.showParams.apply(this, ...args); содержит две ошибки:
а) вызывая this.showParams внутри this.showParams ты поучаешь бесконечную рекурсию, надо сохранить старый this.showParams в отдельную переменную и вызывать через неё;
б.) Function.prototype.apply принимает вторым аргументом массив, а ты его тут зазря разбираешь.

Если на 1 вопрос ответ "нет", то как-то так должно быть:

class ExampleClass {
  showParams(...args) {
    console.log('I have to be calleb');
    console.log(...args);
  }
}

const exampleInstance = new ExampleClass();

exampleInstance.showParams('one', 'Two', 'Three', 456);

exampleInstance.showParams = (showParamsOld => function(...args){
  args.push('Default Argument');
  return showParamsOld.apply(this, args); 
})(exampleInstance.showParams);

exampleInstance.showParams('one', 'Two', 'Three', 456);

Если ответ "да", то поправь сам.

Только помни, что монки-патчинг это плохо, и к нему стоит прибегать только в крайних случаях.

На самом деле чтоб была полноценная типизация надо как-то так:

getStyles<T extends keyof CSSStyleDeclaration>(styles: readonly T[]) {
  return styles.reduce((res, style) => {
    res[style] = this.$nativeElement.style[style];
    return res;
  }, {} as Pick<CSSStyleDeclaration, T>);
}

Песочница.

Разница с решением от Дмитрий в том, что тип получившегося объекта будет содержать только полученные ключи, а не все возможные в CSSStyleDeclaration.

JSON.stringify(item.SIZES)
Только так делать не надо. Вам не нужен массив в data. Всё что вы делаете с этим массивом - вы должны делать прямо с ним в пределах vue.

В node_modules лежат собранные готовые пакеты, вам туда лезть не надо.

Структура проекта, создаваемая vue-cli соответствует (очевидно) выбранным опциям.
Но эта структура - не что-то сакральное единственно верное. Всё что создал vue-cli вы можете создать вручную. Или создать совершенно другую структуру. Важна лишь логика в коде, папочки не важны.

Так что устанавливая какие-то пакеты вручную вы делаете именно это: устанавливаете пакеты. Т.е. (утрируя) просто кладёте их в node_modules и прописываете их наличие в package.json.
Это никак не влияет на ваш код. Если вы хотите их использовать в коде - вы должны использовать их в коде. Создавать отдельные файлы и папки, или просто подключать в уже имеющихся - ваше дело.
vue-cli делает это за вас, при выборе опций, но это особенность vue-cli, а не неотъемлемое свойство npm пакетов.

Там нечего толком изучать. Всё интуитивно понятно, разок доку прочитать достаточно.
А вот стоит ли использовать при наличии современных фреймворков(или совместно с ними) - это уже отдельный вопрос.

К сожалению css\html так устроен, что только одно измерение динамически может зависеть от другого, так что это невозможно без скриптов.

Если про формат переносов:

Settings - Editor - Code Style - HTML - Other > Aligin attributes

Если про то что автоматически переносит, то либо глобально увеличить количество символов в строке

Settings - Editor - Code Style > Hard wrap at: <число символов>

либо запретить переносить конкретно html атрибуты:

Settings - Editor - Code Style - HTML - Other > Wrap attributes: Do not wrap

В любом случае не рекомендовал бы менять никаких из этих настроек, так как они действительно способствуют удобству чтения и написания кода.

Z на конце - это отсутствие часового пояса, что трактуется по стандарту UTC - всемирному координированному времени.
По умолчанию же new Date() задаёт дату в часовом поясе системы. (у вас +3 - скорее всего MSK).
Если нужно время именно в UTC - поменяйте:
var newDate = new Date(yyyy, mm, dd, h, m, s);
на:

var newDate = new Date(Date.UTC(yyyy, mm, dd, h, m, s));

Но скорее всего это вам не нужно.

Убери ведущую / из всех children.

Обычное обращение по ключу, как в javascript, что тут непонятного?

const foo = {
  bar: 1
};
foo['bar'] // 1
const baz = {
  qux: 2
}['qux']; // 2

тайпскрит в работе с типами тут ничем не отличается:

type user = {
    id: number,
    name: string,
};
type id = user['id']; // number
type userKeys = keyof user; // 'id' | 'name'
type userTypes = user[keyof user]; // number | string

тип never же просто не учитывается:
number | string | never - то же самое что number | string.

Нет не возможно. Потому что загруженный файл не "работает", он уже "отработал". Уберёте его вы или нет, разницы после этого никакой. Можно только бороться с последствиями сделанного кодом.
Варианты по-лучше есть всегда, вопрос лишь в том что на самом деле вам нужно.

Вэб-дизайнер должен понимать как типографика работает в вэбе. Есди он что-то там нашаманил левого в своём фотошопе - это его косяк, пусть переделывает. Вот и всё, собственно.
Это если разница велика. Если разница полупиксельная - то это нормально, шрифты по разному рендерятся как в разных браузерах, так и в разных OS.

Всё должно быть к месту, очевидно.

Если нужна остановка цикла - можно использовать some, если нужен именно map с остановкой цикла - тут следует использовать for либо какую-нить либу, которая это умеет.

Если эти некие "они" с оверхедом используют обычный map там где должен быть прерван цикл или там где не нужно получения нового массива - они говнокодеры.
Если вы используете классический for там где идеально справился бы map - вы старпёр, бессмысленно раздувающий и усложняющий код.

А производительность надо оптимизировать там и только там, где надо оптимизировать производительность.