Dark Hole: нашел IndexdedDB, дающей безлимитное количество места под данные. Но, например, в Mozilla Firefox на каждые 50мб требуется подтверждение пользователя. Про другие ограничения не знаю. https://habrahabr.ru/post/213515/
OVK2015: ошибся, подумал, что все содержимое div, а не форму. Но сам то вопрос и заключается в том, как с помощью ajax и jquery скрыть/показать какой-либо элемент
Там, в принципе, не так уж и много кода. Сам уже разобрался. Он слушает кнопки и клики мыши, добавляет в локал кол-во очков и состояние игры, остальное можно привязать через POST
https://habrahabr.ru/post/213515/