Данные с html страницы в php передаются через form или ajax.
Скажем это твой скрипт script.php

<?php
$id1 = $_GET['id1'];
$date = $_GET['date'];
$sql = "INSERT INTO test(id1, date)
VALUES ('$id1','$date')";
?>

вот как будет выглядеть form в html странице

<form action='script.php' method='get'>
<input type='text' name='id1'>
<input type='text' name='date'>
<input type='submit' value='Submit'>
</form>

вот и вот примеры работы с формами
Выше написали как делать запрос с помощью ajax.

Ну по порядку:
- для изменения стиля, да, перезаписываете дефолтный стиль. Можно также добавлять свой.
- Тут скорей подгонка Bootstrap под предварительный дизайн.
- Про нечистый код, это спорно. Есть те кто верстают от бога а есть простые люди. Каждый раз писать стили с нуля, когда у тебя в неделю по пять сайтов, не удобно.
- Bootstrap -это CSS framework. С коробки он дает grid, responsive design, css-плюшки. Я предполагаю что заказчики любят его за быстроту, красоту и responsive design.
- Даже незнаю пишуть ли макеты специально под Bootstrap. Скорей Bootstrap подстраивается под макеты.
Сила и мощь в Bootstrap в его простоте и изменяемости. Можете здесь посмотреть примеры сайтов сделанных с помощью Bootstrap.