Веб-сервис это веб-приложение в котором реализована бизнес-логика. Веб-приложение - это приложение, которое доступно из интернета, локальной сети по определенному маршруту.
Как Вы упомянули, именно api является ярым примером веб-сервиса.
Дополнительно, не всегда понятие веб-сервис в одной компании равно понятию веб-сервиса в другой. В одной веб-сервис - это веб апи и веб морда к ней, в другой - только веб-апи.

Во-первых забудь про возвращение через таск какой-то там иенумерэйбл. Используй IActionResult и только его.
В нем же, ты можешь успешно выбрасывать либо return Ok("Сообщение от сервака, бла бла"), либо return Badrequest("Что-то пошло не так" + error.Message).
Думаю, дальше разберёшься. Если что пиши. Всегда рад помочь.

Для второго роута нужно в конце слеш указать, вопрос закрыт

proxy_pass http://$docker_host:4000/;

Откройте диспетчер пакетов NuGet. Удалите все имеющиеся пакеты связанные с Entity Framework и SQL.
Затем установите только один пакет Microsoft.EntityFraneworkCore.SqlServer.