Многое зависит от дистрибутива и версий ПО.
У lightdm файл Xauthority может лежать где угодно для пользователя.
Например в /home/$user/.Xauthority, а может лежать где нибудь в /run/lightdm/$user/Xauthority
или /run/$userid/lightdm/Xauthority
Как пример, но это для Gnome с GDM.
XAUTHORITY=/run/user/1000/gdm/Xauthority DISPLAY=:0 sudo -u wedmer gedit