Событие
DOMSubtreeModified морально устарело и не поддерживается более браузерами.
Если вам нужна реакция на изменение страницы, то вы должны использовать наблюдателей.
Делается это примерно так:
// При клике на кнокпу выполняем функцию:
$('#employee_avatar_button').click(function(){
// Создаем наблюдателя, переданная функция будет
// выполнятся всякий раз при изменении страницы:
var observer = new MutationObserver(function() {
// Ищем нужный нам элемент:
var el = $('#employee_avatar_ul li::last-child');
// Если элемент найден:
if (el.length > 0) {
// Откл. наблюдателя:
observer.disconnect();
// Выводим уведомления:
console.log('Найден элемент:');
console.dir(el[0]);
console.log('Его атрибут file_id: ' + el.attr('file_id'));
}
// Если элемента еще нет:
else {
// Выводим соотвествующее уведомление:
console.log('Обнаружено изменение содержимого тега <body></body> - однако элемент, который мы ждем, пока еще отсуствует на странице.');
}
});
// Прикрепляем наблюдатель к body:
observer.observe(document.body, {
characterData: true,
attributes: true,
childList: true,
subtree: true
});
});
Почитать подробнее можно здесь:
https://learn.javascript.ru/mutation-observer 
