Если речь про файл лога, то он будет только дозаписываться, т.е. старые данные не меняются.
Так что можно просто продолжать считывать уже открытый, при каждом чтении данные будут пополняться (если они появились).
word = '[CHAT]' # Word there we search
f = open('LOG.log','r') # File where searching word
while True: # infinite cycle
text = f.read().split('\n') # Reading a file and splitting it by delimiter ('\n')
for i in text: # Searching word
if word in i: # If i have word
print(i) # Printing word
time.sleep(1)