Плагины WP здесь ни причем. Выше Анатолий прав, это не типовой функционал.
В вашем случае нужно смотреть на задачу немного по другому. По сути, у вас есть два сервера. На одном WP со всем своим "хозяйством". И есть где-то на другом сервере другая БД. Вам нужно каким-то образом настроить взаимодействие сайта с внешним сервером. Например, по REST API.
То есть, ваш сайт на WP (хотя, это не важно), отправляет http запрос на внешний сервер, соответственно, внешний сервер должен "уметь" обработать данный запрос и "отдать" вашему сайту данные. Обычно в формате json. А на стороне вашего сайта нужно реализовать механизм сохранения полученных данных в базу WP. И тоже самое в обратную сторону - внешний сервер должен "уметь" получить данные с вашего сайта, также с помощью http запроса, и сохранить эти данные в свою БД.
Могут быть другие варианты. Можно в принципе и выгрузками через файл сделать (excel, xml...). Но у вас вроде задача именно на взаимодействие.