Добавляйте обработчик начала тача на нужный элемент или весь документ. (touchstart)
Сохраняйте позицию прикосновения.
Добавляйте обработчик окончания прикосновение (touchend), в котором будете смотреть на конечную координату касания.
Если конечная координата по X больше начальной - значит произошёл свайп слева направо и наоборот.
Вызвать функцию отображения меню.
Профит.
Вот статьи с теоритическим минимум для данной задаче:
События в браузере
Координаты курсора