Используйте DOMParser. Применительно к вашему коду распарсить ответ можно вот так:
$.ajax({
url: my_url,
method: "GET",
dataType: "html",
success: function(html){
var doc = new DOMParser().parseFromString(html, 'text/html');
var txt = $('селектор_для_поиска', doc).text();
alert(txt);
}
});
Как видно из примера, чтобы что-то найти в полученном html, мы его сначала должны превратить в документ при помощи DOMParser, а затем банально передаем полученный документ вторым аргументом в функцию jQuery и в итоге jQuery искать элементы будет не на текущей странице, а конкретно в переданном документе.