Попробуйте не менять атрибут
src, а целиком заменить сам элемент сразу по готовности документа:
document.addEventListener('DOMContentLoaded', function() {
document.querySelector('.bmenu__theme > img').outerHTML = '<img alt="Зарплаты айтишников" src="'+chrome.extension.getURL('/images/1.png')+'" style="position:relative; vertical-align: middle; top: -2px; margin-right: 4px;" width="20">';
});
В манифесте расширения на всякий случай укажите порядок загрузки своего скрипта:
{
"matches": ["https://qna.habr.com/*"],
"css": ["style.css"],
"js": ["script.js"],
"run_at": "document_start"
}
При
run_at равной
document_start ваш скрипт будет запущен еще до готовности документа.