Специального API нет, но можно воспользоваться запросами, которые отправляют сами поисковики. Их можно отследить через отладчик. Например, в случае гугла отправляется запрос на
https://www.google.ru/s и возвращается ответ в виде JSON - чем не API? Аналогично, думаю, и у остальных поисковиков, вряд ли они там что то пакуют или шифруют.
А про расширение для хрома не понятно - вроде хром и так имеет функцию живого поиска из адресной строки.