Собственно суть вопроса в заголовке, ещё пару недель назад счётчики были, есть предположение, что Яндекс отключил счётчики, так как в настройках нового блока нет вкладки «счётчики».
Но старые два сайта, со старыми кодами настройки, до сих пор показывают «счётчики», если со старых сайтов взять код Блока «Поделиться», то счётчики есть, но думаю это не совсем правильно.
Новый код выглядит так:
<script src="https://yastatic.net/es5-shims/0.0.2/es5-shims.min.js"></script><script src="https://yastatic.net/share2/share.js"></script><div class="ya-share2" data-services="vkontakte,facebook,odnoklassniki,moimir,gplus,lj,collections"></div>
Старый код имеет другие атрибуты:
<script type="text/javascript" src="//yastatic.net/share/share.js" charset="utf-8"></script><div class="yashare-auto-init" data-yashareL10n="ru" data-yashareQuickServices="vkontakte,facebook,twitter,odnoklassniki,moimir,gplus" data-yashareTheme="counter"></div>
При добавлении старых атрибутов ни к чему не привело.