1. Если под перезагрузкой ты имеешь в виду просто перезагрузку, а не отправленную форму → используй sessionStorage. Это просто JS.
2. Если ты хочешь, чтобы после отправки формы, ее валидации и обработке тебе приходили данные — тебе необходимо на стороне сервера иметь хранилище этих данных. Обычно в этой роли выступают БД с пользователями, привязками и т.д., а тут уже отличным решением будет использовать фреймворк на ЯП, в котором будет либа форм, с помощью которых ты при сохранении данных в модели при загрузке этой формы снова (скажем редактирования чего-либо), ты получишь prepopulated form.
3. Если же ты хочешь гонять форму без каких-либо проверок, просто передавая данные в POST\GET, с сабмитом формы ведущий туда же, то тебе надо сформировать генерацию документа посредством ЯП, который разберет запрос и сможет сделать банально так:
<input type="checkbox" checked="<?= $field[3] != true ?: 'checked' ?>">...
либо разбирать запрос JS и уже раздавать значения в загруженной странице.
Иными словами, все зависит от конечной цели.