Оказалось все проще, просто нужно было по капаться глубже в теме.
Решение:
//Выводим тело документа
$document = $service->documents->get(DOCUMENT_ID, ['fields' => 'body']);
//Перебираем контентную составляющую документа
foreach($document->body->content as $content){
if(!empty($content['paragraph'])){
foreach($content['paragraph']['elements'] as $elements){
//ищем наше значение
$pos = strripos($elements['textRun']['content'], '{{печать}}');
if($pos !== false){
//Когда нашли, записываем его стартовый индекс
$startIndex = $elements['startIndex'];
}
}
}
}