Я решил это дело так:
Отправляю форму по AJAX на адрес '/wp-admin/admin-ajax.php'
В functions.php прописал отлов:
add_action( 'wp_ajax_nopriv_cart_update', 'cart_update' );
function cart_update() {
global $wpdb, $woocommerce;
session_start();
$res = [];
foreach ($_POST['cart'] AS $k => $v) {
$carti = WC()->instance()->cart;
$id = $v['product_id'];
$cart_id = $carti->generate_cart_id($id);
$cart_item_id = $carti->find_product_in_cart($cart_id);
if ($cart_item_id) {
$carti->set_quantity($cart_item_id, $v['qty']);
}
}
echo json_encode($res);
die;
}