Можете поискать календарь где есть api по смене месяца или года, скрыть через css стандартное отображение смены месяца/года и сделать свое, привязав его к api календаря, например
тут есть методы next() и prev(), которые в зависимости от вида меняют месяц или год, и есть свойство view которое меняет вид календаря отображая месяц или год.
Можно попробовать что-то типа этого:
//...
// клик на кнопку следующего месяца, если текущее представление дни месяца:
datepicker.next();
// клик на кнопку следующего года, если текущее представление дни месяца:
datepicker.view = 'months';
datepicker.next();
datepicker.view = 'days';
//...