<li class="" style="width: 85%;"><input name="param[]" type="checkbox" value="значение2" style="display:none" >значение2</li>
<li class="" style="width: 85%;"><input name="param[]" type="checkbox" value="значение3" style="display:none" >значение3</li>
SELECT * FROM table WHERE param='[1,1,1]' OR param='[1,2,2]' OR param='[1,1,2]'
SELECT * FROM `table` WHERE `field_html` LIKE '%value="значение1"%' AND `field_html` LIKE '%value="значение2"%' AND `field_html` LIKE '%value="значение3"%'
SELECT * FROM `table` WHERE `field_html` LIKE '%value="значение1"%' OR `field_html` LIKE '%value="значение2"%' OR `field_html` LIKE '%value="значение3"%'