Не буду комментировать русский язык.
1) не надо сравнивать строки, если речь идет о возрасте , сравниваем ЧИСЛА
2) нужно расположить условия в правильном порядке, например у Вас
if age >= str(20):
print("Тебе уже, " + age + " лет, ты совсем взрослый(-ая)")
если возраст 60 лет, то сработает это условие, а специальное условие для 60 лет (print("Да ты уже старик"))- НЕТ
name = input("Введите своё имя: ")
print("Привет, " + name + "!")
age = input("Введите свой возраст: ")
if int(age) <= 14:
print("Ты ещё маленький, тебе нужно подрасти")
elif int(age) >= 50:
print("Да ты уже старик")
elif int(age) >= 20:
print("Тебе уже, " + age + " лет, ты совсем взрослый(-ая)")
elif int(age) >= 14:
print("Ты ещё не взрослый, ты подросток")