Вот таким кривым способом. Это происходит по нажатию на кнопку. Данные сохраняются в ключи. После перезапуска приложения кнопка не видна. Но в консоле происходит то о чем писал выше. Вместо Null данные.
let userNameVk = user.response[0].first_name + " " + user.response[0].last_name;
let userImageVK = user.response[0].photo_max;
let userTokenVK = result.params.access_token;
AsyncStorage.setItem("userNameVk", userNameVk);
AsyncStorage.setItem("userImageVK", userImageVK);
AsyncStorage.setItem("userTokenVK", userTokenVK);