Написать программу, считающую сумму ряда с погрешностью EPS?

Question

[BigLebovski]

Дан бесконечный ряд вида cos(x*k)/k , где x задаётся пользователем, а k-номер текущего слагаемого, при этом EPS=10^(-2). Например , при x=2 ряд примет вид: cos(2*1)/1 + cos(2*2)/2 + cos(2*3)/3 + .... и т.д. Не могу понять, какого типа ряд (сходящийся\расходящийся) а так же какую роль играет EPS. Либо это точность суммы до сотых, либо максимальная требуемая разница между текущим и предыдущим членом последовательности для прекращения суммирования?

Answer 1

[Sumor]

Очевидно, что при x = 2*PI ряд расходится.
Скорее всего, можно доказать, что он расходится при любых x, возможно кроме каких-то особых точек.

Например, если x = 2*PI/q, где q - любое рациональное число, q=m/n, где m - целое,n - натуральное. Тогда область значений функции cos(x*k) конечно, с мощностью не более n. Тогда можно взять минимальное значение из области значений и вынести его за скобки; тогда в скобках останется ряд, который снизу ограничивается гармоническим рядом, который расходится.

Отсюда вам остаётся только считать частичную сумму ряда пока разность между элементами не станет меньше EPS. Кстати нахождение элементов, разность между которыми меньше EPS не гарантирует, что у вас не будет превышения этого порога в следующих слагаемых. Возможно имеет смысл EPS ограничивать соответствующие слагаемые гармонического ряда.

Comments

[BigLebovski]

А разве ряд не сходится по признаку Вейерштрасса, если взять мажорируемый ряд 2/n?

[Sumor]

Ряд 1/n, 2/n, а также любой другой ряд вида C/n, где C - константа, расходится. Поэтому признак Вейерштрасса тут не работает.