По идее, должно быть:
location /api {
proxy_pass http://example.com;
}
Регулярное выражение здесь не нужно, достаточно простого сравнения по подстроке. Директива
rewrite
вызывает перенаправление, а не проксирование.
Вы мало дали информации для подробного ответа, но по крайней мере, с моего ответа можно начать.