Что происходит с временным email после истечения срока?
Происходит то, что предусмотрено на данном сервисе. Что - знает только админ, но Вам он не скажет, даже если спросите (а то, что скажет, может вполне не соответствовать истине)
Все письма пришедшие на него удаляются?
Может быть. А может и нет. Это знает только админ, но .. см. ответ выше :)
И безопасно ли регистрироваться на различных сайтах используя временный email?
Что есть "безопасно" в данном контексте?
Могут ли их посмотреть владельцы сервиса?
Может быть. А может и нет. Это знает только админ... ну, Вы поняли :)
Ни в чем, что происходит на сайте, к которому у Вас нет физического доступа в любое время, Вы не можете быть уверены на 100% Все, что заявляет сервис, может быть правдой. А может ею и не быть. Помните, как у пиндосов в фильмах говорят "Все, что Вы скажете, может быть использовано против Вас". Здесь точно такая же ситуация.