В проблеме разобрался. Даже немного стыдно что не догадался сразу посмотреть логи. Когда я в них заглянул по адресу "/core/cache/logs/", то увидел следующее сообщение:
... /core/components/formit/model/formit/fihooks.class.php : 580) [FormIt] Произошла ошибка при попытке отправить почту. Ошибка соединения с SMTP-сервером https://github.com/PHPMailer/PHPMailer/wiki/Troubleshooting
Проблема оказалась в работе PHPMailer. Решается эта проблема путём переключения версии PHP (в моём случае с 5.3) на 5.6. После чего всё начинает работать нормально. Но перед этим, я убрал свои изменения которые внёс ранее в раздел Почта (в системных настройках), сделал всё по умолчанию. Возможно, данная информация, в будущем кому-то поможет. По этому, привет вам из прошлого ;-)