Вариант 1. Использовать Telegram Bot API. Самый простой вариант. Есть много туториалов и готовых библиотек. Критический минус - бот через Bot API не будет видеть сообщения от других ботов в этом канале (например, когда автор канала пользуется ботом для постинга).
Вариант 2. Имитировать клиент Telegram. Готовые библиотеки/клиенты тоже есть, но намного менее распространены. Туториалов намного меньше.
Вариант 3. Найти вебсервис, который мониторит каналы Telegram, например, для целей выдачи фида (т.е. тот кто уже реализовал вариант №2), и брать данные с него через web-парсинг или api(если есть).