1. Если в классе есть статический метод у класса что, не может быть конструктора?
Наличие статического метода не делает класс статическим. Формально вам ни кто не запрещает реализовывать конструктор в статических классах, но вызваны они никогда не будут.
2. О каких зависимостях идёт речь? Можно передать в него всё, что нужно
Речь идет о внутренних зависимостях. Например подключение к бд, определенное в конструкторе не будет доступно.
Внутри статического класса нельзя обратиться к свойству класса? Например $a = $this->var;
Нельзя. Нет объекта, нет указателя $this. Для доступа к свойствам используется конструкция self:$var. Но, чтобы свойство было доступно - оно должно быть заранее определено прям в классе. Рассматривайте статические классы, как наборы связанных функций.
з.ы. Еще раз, наличие статического метода или свойства в классе, не делает этот класс статическим. Для статических классов никогда не создают инстансы.