Ну так делайте проверку перед отправкой на пустые поля, например:
if(empty($field_email) or empty($field_message)){
header($_SERVER['SERVER_PROTOCOL']." 400 Bad Request");
}else{
$mail_status = mail($mail_to, $subject, $body_message, $headers);
}
exit;
Будет проверять на пустоту email и текста и кидать ошибку если пустые.
Хотя конечно надо переписать все по уму. Сделать валидацию на email, кидать ошибки соответствующие. На клиенте слать ajax и получать в ответ json c ошибками, разбирать и выводить пользователю.