Описания недостаточно, код не видно, хотя, можно уже предполагать, где скрывается ошибка. Разделите понятия:
Судя по описанию, User-B прошел авторизацию, а остальные пользователи нет. Заставьте этих пользователей пройти авторизацию, и у них появится разрешение на запуск функций.
Как заставить пользователей авторизоваться - это проблема разработчика, а не Google. Но, не имея в техническом плане серьезных противоречий, этот подход сложен для понимания практического. Примеры приложений, код которых может быть одинаков до запятой.
- Отправить присьмо при изменении. Простой триггер onEdit(). Может отпрвлять только то, кто прошел авторизацию.
- Отправить присьмо при изменении. Устанавливаемый триггер. Триггер установлен кем-то одним. Может отпрвлять только то, кто прошел авторизацию, т.е. один. Письма будут приходить согласно условию в коде.
- Отправить присьмо при изменении. Устанавливаемый триггер. Триггер установлен каждым умником, кто залез в код. Может отпрвлять только тот, кто прошел авторизацию. Письма будут приходить согласно условию в коде умноженное на количество умников, потому что это будет один и тот же код, срабатываемый для каждого триггера в каждом аккаунте.
Разрабатывая клиент-серверное приложение, вам необходимо заботиться о многопользовательском доступе. Необходимо разработать процесс и порядок доступа, и только после этого разбираться, как это реализовать. Например,
- Каждый пользователь сам себе будет отправлять письма? Зачем и нах!?
- Каждый пользователь будет отправлять письма на заданный адрес?
- Письма будет отправлять только один аккаунт всем участникам подписки, группе, редакторам и т.д.?
- Письма будет отправлять только один аккаунт, тому кто совершил изменения? Для аккаунтов googlemail.com это недоступно.
Лично мне было бы неприятно, что кто-то требует от меня отпрвлять непонятно куда и зачем какие-то письма, выжирая и так скудную квоту.
Пересмотрите свое приложение. Какие цели оно преследует? Чего вы уже добились? Так ли это работает? Приведите пример кода и суть приложения.