Первая проверка, проверяет если пользователь авторизован, а вторая если пользователь нажал на *****, уже перепробовал и input name="logout" ---> не работает, жму а var_dumpt мне отправляет Null, а почему Null?
При клике на линк <a href="index.php" titl ... у вас отправляется не форма, а происходит переход на страницу index.php
Попробуйте такой пример посмотреть:
п.с. на страницу можно передавать данные и без формы, в гет запросе.
Например линк: <a href='index.php?logout=true'>
И тогда в условии проверяете $_GET массив if($_GET['logout'] == 'true') ....
У вас вардамп стоит не в том блоке и пост-логаут выводится при условии его отсутствия, что полностью соответствует результату. Переместите его в верхний блок условия и боги будут к вам милосердны:)